Question

在平面直角坐标系中，A(－1)，B(3，0)．

(1)若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点(0，－3)，求此抛物线的顶点坐标；

(2)如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；

(3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴正车轴交于点E，F，与y轴交干点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点．若四边形PEMF是有一内角为的菱形，求此抛物线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设y＝a(x＋1)(x－3)，则－3＝－3a，∴a＝1，∴y＝x2－2x－3，∴顶点坐标为(1，－4); 　　(2)由题意可设y＝a(x＋1)(x－3)，即y＝ax2－2ax－3a，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3a)，M(1，－4a)，∴S△ABC＝×4×｜－3a｜＝6｜a｜，而a＞0，∴S△ABC＝6a．作MD⊥x轴，垂足为D，又S△ACM＝S△ACO＋SOCMD－S△AMD＝·1·3a＋(3a＋4a)·1－·2·4a＝a＋a－4a＝a，∴S△ACM∶S△ABC＝1∶6; 　　(3)①当抛物线开口向上时，由题意可设y＝a(x－1)2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，由菱形可知｜a＋k｜＝｜k｜，a＋k＞0，k＜0，∴y＝－，∴y＝ax2－2ax＋，∴｜EF｜＝．记l与x轴的交点为D，若∠PEM＝，则∠FEM＝，MD＝DE·tan＝，∴k＝－，a＝，∴解析式为y＝x2－x＋．若∠PEM＝，则∠FEM＝，MD＝DE·tan＝，∴k＝－，a＝，∴解析式为y＝x2－2x＋．②当抛物线开口向下时，同理可得y＝－x2＋x－，y＝－x2＋2x－．