Question

18．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E．
（1）求CE的长；
（2）将⊙O在射线CB上向左滚动，当⊙O与AB相切时，则圆心O经过的距离是多少（直接写出结论）．

Answer 1

分析 （1）连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长；
（2）设⊙O与AB相切于E，与BC相切于F，由平移的性质得到CF的长度即为圆心O经过的距离，由于∠OFC=90°，∠C=30°，于是得到CF=$\frac{1}{2}OC$，推出△AOE≌△COF，得到AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=2，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，
∴△ABC的高为2$\sqrt{3}$cm，
∴OC=$\sqrt{3}$cm，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=$\frac{3}{2}$cm，
即CE=2FC=3cm；

（2）如图2，设⊙O与AB相切于E，与BC相切于F，
∴CF的长度即为圆心O经过的距离，
∵∠OFC=90°，∠C=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}OC$，
在△AOE与△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C=60°}\\{∠AEO=∠CFO=90°}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴CF=1cm，
∴圆心O经过的距离是1cm．

点评 本题主要考查了切线的性质，等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识，题目不是太难，属于基础性题目．