Question

如图，在矩形ABCO中，AO＝3，tan∠ACB＝，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系．设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒．

(1)求直线AC的解析式；

(2)用含t的代数式表示点D的坐标；

(3)当t为何值时，△ODE为直角三角形？

(4)在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)根据题意，得CO＝AB＝4，则A(0，3)，B(4，3)， 　　∴直线AC：； 　　(2)分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H， 　　则有△ADF∽△DCH∽△ACO， 　　∴AD：DC：AC＝AF：DH：AO＝FD：HC：OC， 　　而AD＝(其中0≤≤)，OC＝AB＝4，AC＝5，∴FD＝AD＝，AF＝AD＝， 　　DH＝，HC＝， 　　∴D(，)； 　　(3)CE＝，E(，0)，OE＝OC－CE＝4－，HE＝|CH－CE|＝， 　　则OD2＝DH2＋OH2＝＝， 　　DE2＝DH2＋HE2＝＝， 　　当△ODE为Rt△时，有OD2＋DE2＝OE2，或OD2＋OE2＝DE2，或DE2＋OE2＝OD2， 　　即①， 　　或②， 　　或③， 　　上述三个方程在0≤≤内的所有实数解为 　　，，，； 　　(4)当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即和时，以Rt△ODE的三个顶点不确定对称轴平行于轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于轴的抛物线D(，)，E(4－，0) 　　当时，D(，)，E(3，0)，因为抛物线过O(0，0)， 　　所以设所求抛物线为，将点D，E坐标代入，求得，， 　　∴所求抛物线为 　　(当时，所求抛物线为)