Question

如图，△ABC中，∠BAC=90゜，AC=2AB，D为AC的中点，E为△ABC外一点，且EA=ED，EA⊥ED，试猜想线段BE和CE的数量关系和位置关系，并证明．

Answer 1

分析：根据中点的定义可得AC=2CD，从而得到AB=CD，再求出△AED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠EAD=∠EDA=45°，然后求出∠BAE=∠CAE=135°，利用“边角边”证明△ABE和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CE，全等三角形对应角相等可得∠BEA=∠CED，然后求出∠BEC=∠AED，再根据垂直的定义证明即可．

解答：解：BE=CE，BF⊥CE．
理由如下：∵D为AC的中点，
∴AC=2CD，
∵AC=2AB，
∴AB=CD，
∵EA=ED，EA⊥ED，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAD=90°+45°=135°，
∠CAE=180°-∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△DCE中，

EA=ED ∠BAE=∠CAE AB=CD

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，∠BEA=∠CED，
∴∠BEC=∠BED+∠CED=∠BED+∠BAE=∠AED=90°，
∴BF⊥CE．
故，BE=CE，BF⊥CE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于找出∠BAE=∠CAE=135°．