Question

如图1，梯形中，∥，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）．
（1）当正方形的边恰好经过点时，求运动时间的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；
（3）如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当t=4时，正方形PQMN的边MN恰好过点D
（2）
（3）当时，∆PEF是等腰三角形

试题分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，可以得出四边形AGHD为矩形，根据矩形的性质及相关条件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出结论t的值；
（2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当0＜t≤3，当3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S的值；
（3）先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-t，分为三种情况：EF=EP时可以求出t值，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，可以求出t值，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，可以求出t值．
试题解析：（1）如图2，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，则四边形AGHD是矩形。
∵梯形ABCD中，AB=AD=DC=5，
∴∆ABG≌∆DCH，
∴,
∴当正方形PQMN的边MN恰好过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，
,
∴当t=4时，正方形PQMN的边MN恰好过点D。
（2）

如图1，当0<t≤3时，BP=t,∵
∴，
如图3，当3<t≤4时，BP="t,"
∴

如图4，当4<t≤7时，BP="t,"
∴
如图5，当7<t≤8时，BP="t,"
∴
∴
（3）∵,
∴
∴
由（1）可知则

如图6，当EF=EP时，
∴
如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP于R，∴
∴
∴
如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF于S，∴
∴
∴
∴当时，∆PEF是等腰三角形。