Question

【题目】如图，是的直径，点、在上且，连接、，过点作交的延长线于点．

求证：是的切线；

若，，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的半径为．

【解析】

（1）连结OC，由F，C，B三等分半圆，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．

证明：连结，如图，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是的切线；

解：连结，如图，

∵为直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

在中，，

即，

∴，

∴的半径为．