Question

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．

Answer 1

分析：（1）本题要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（2）本题可先用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值就是题目所求的值．
（3）可过P作PM⊥BC于M，先在直角三角形PQM中，用t表示出x，然后将x替换掉（2）中得出的y，t的函数关系式中t的值，即可得出y，x的函数关系式．

解答：解：（1）根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=

1

2

BP，
即t=

1

2

（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=

1

2

BQ，
3-t=

1

2

t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

（2）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=

PM

PB

，
∴PM=PB•sin∠B=

3

2

（3-t），
∴S_△PBQ=

1

2

BQ•PM=

1

2

•t•

3

2

（3-t），
∴y=S_△ABC-S_△PBQ，
=

1

2

×3²×

3

2

-

1

2

•t•

3

2

（3-t），
=

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

，
∴y与t的关系式为y=

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的

2

3

，
则S_{四边形APQC}=

2

3

S_△ABC，
∴

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

=

2

3

×

1

2

×3²×

3

2

，
∴t²-3t+3=0，
∵（-3）²-4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的

2

3

．

（3）在Rt△PQM中，∵MQ=|BM-BQ|=|

3

2

（1-t）|，
MQ²+PM²=PQ²，
∴x²=[

3

2

（1-t）]²+[

3

2

（3-t）]²，
=

9

4

（t²-2t+1）+

3

4

（9-6t+t²），
=

3

4

（4t²-12t+12）=3t²-9t+9，
∴t²-3t=

1

3

（x²-9），
∵y=

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

，
∴y=

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

=

3

4

×

1

3

（x²-9）+

9 3

4

=

3

12

x²+

3 3

2

，
∴y与x的关系式为y=

3

12

x²+

3 3

2

．

点评：本题主要考查了直角三角形的判定、图形面积的求法、勾股定理以及二次函数的应用等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．