Question

如图，⊙O的弦AB=10，P是弦AB所对优弧上的一个动点，tan∠APB=2，
（1）若△APB为直角三角形，求PB的长；
（2）若△APB为等腰三角形，求△APB的面积．

Answer 1

解：（1）△APB是直角三角形有两种情况：
作直径AP₂、BP_l，连接P_lA、P₂B，
∴P₂B=AB÷tan∠APB=5，
P_lB=AP₂=5，
所以PB的长为5或5；

（2）△APB为等腰三角形时有三种情况：
①PA=PB，
∵∠AOH=∠APB，AB=10
∴OH=，∴OP=，PH=
∴S_△APB=；
②BA=BP，
∴∠GAB=∠APB
在⊙O上取一点P₄使BP₄=BA，连接AP₄交P₁B于G
设AG=k
∵tan∠APB=2
∴BG=2k
由勾股定理得k=2
∴S_△APB=40；
③AB=AP与BA=BP情况相同
∴S_△APB=40．
分析：（1）若△APB为直角三角形，则应分AP是直径，和BP是直径两种情况讨论；
（2）若△APB为等腰三角形，应分PA=PB，BA=BP，AB=AP（与BA=BP情况相同）三种情况进行讨论．
点评：注意分类讨论是解决本题的关键．分类讨论也是初中数学学习的一种重要思想方法．