题目内容

如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（-9，0）
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；
（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S△PAM：S△CEF=
3
：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
（1）连接CM，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6
OA=OM+MA=3+6=9
A（9，0）
∵OC=
MC2-OM2
=3
3

∴C（0，3
3
）

（2）证法一：
在Rt△DCO中，∵DC=
DO2+CO2
=6
3

在△DCM中，∵CM2+DC2=144
DM2=（DO+OM）2=（9+3）2=122=144
∴CM2+DC2=DM2
∴△DCM直角三角形．
∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半径
∴CD是⊙M的切线．
证法二：
在Rt△COM中，∵sin∠MCO=
OM
CM
=
1
2
，
∴∠MCO=30°
在Rt△DOC中，∵tan∠DCO=
DO
CO
=
9
3
3
=
3
，
∴∠DCO=60°
∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90°
∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半径．

（3）由抛物线y=x2+bx+c经过点M（3，0）和点A（9，0），可得：
9+3b+c=0
81+9b+c=0

解得：
b=-12
c=27

∴抛物线的解析式为：y=x2-12x+27．

（4）存在
设抛物线的对称轴交x轴于点H
在（2）中已证：
∴∠DCO=60°，∠CDO=30°
∵抛物线的对称轴平行于y，
∴∠CEF=∠DCO=60°
∵OD=OA=9，
∴CO垂直平分AD
∴∠CAO=∠CDO=30°
在Rt△AFH中，∠AFH=60°
∴∠EFC=60°
∴△CEF是等边三角形
过点C作CG⊥EF于点G，则CG=6
可得：EF=4
3
，S△CEF=
1
2
EF•CG=
1
2
×4
3
×6=12
3
；
若点P在轴的上方，设点P坐标为（x，y），S△PAM=
1
2
AM•y=3y，S△PAM：S△CEF=
3
：3
∴3y：12
3
=
3
：3，
解得：y=4．
当y=4时，即x2-12x+27=4，解得x=6±
13

∴P（6-
13
，4）或（6+
13
，4）．
②若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形．
③若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x，y）
S△PAM=
1
2
AM•（-y）=-3y，S△PAM：S△CEF=
3
：3
∴-3y：12
3
=
3
：3
解得：y=-4
当y=-4时，即x2-12x+27=-4，解得x=6±
5
．
∴P（6-
5
，-4）或（6+
5
，-4）．
∴这样的点共有4个，
∴P（6-
13
，4）或（6+
13
，4）或（6-
5
，-4）或（6+
5
，-4）．
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，-
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X
Y		123
6
8
9（3，9）
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