Question

【题目】如图，在中，，，．动点在边上，以点为圆心，长为半径的分别交、于点、，连接．

若点为边上的中点（如图），请你判断直线与的位置关系，并证明你的结论；

当时（如图），请你求出此时弦的长．

Answer 1

【答案】(1) 直线与相切，理由详见解析；（2）．

【解析】

（1）直线CD与⊙O相切，连接OD，可证得∠CDO=90°，则直线CD与⊙O相切．
（2）过点C作CF⊥AB于点F，根据已知条件，可求出在三角形ABC中，AB=4．又∠BDC=45°，所以△DCF为等腰直角三角形，DF=CF，在Rt△BCF中，可求BF=，CF=3=DF，所以AD可用求差法进行求解．

解：直线与相切．

证明：如图，连接．

∵，点为边的中点，

∴，

，

∴，

∴；

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴直线与相切．

如图，过点作于点；

∵，，

∴；

∵，

∴，；

在中，可求，，

在中，可求，

∴．