Question

【题目】在平面直角坐标系中，OA＝4，OC＝8，四边形ABCO是平行四边形．

（1）求点B的坐标及四边形ABCO的面积；

（2）若点P从点C以2单位长度/秒的速度沿CO方向移动，同时点Q从点O以1单位长度/秒的速度沿OA方向移动，设移动的时间为t秒，△AQB与△BPC的面积分别记为，，四边形QBPO的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．

（3）在（2）的条件下，是否存在某个时同，使，若存在，求出t的值，若不存在，试说明理由；

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为（8，4），四边形ABCO的面积32；（2）四边形QBPO的面积不发生变化，面积为定值16，证明过程见解析；（3）存在t的值，此时．

【解析】

（1）先证四边形ABCO是矩形，进而可根据OA＝4，OC＝8求得答案；

（2）由题意可知OQ＝t，CP＝2t，进而可用含t的代数式表示S△ABQ及S△BCP，进而可根据 S四边形QBPO＝S矩形ABCO－ S△ABQ－ S△BCP＝32－(16－4t)－4t，化简即可得到答案；

（3）由（2）可知：S△ABQ＝16－4t，S四边形QBPO＝16，再结合即可求得t的值．

解：（1）∵四边形ABCO是平行四边形，∠AOC＝90°，

∴四边形ABCO是矩形，

∵OA＝4，OC＝8，

∴点B的坐标为（8，4），S矩形ABCO＝OA·OC＝8×4＝32，

（2）∵四边形ABCO是矩形，

∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，

由题意可知：OQ＝t，CP＝2t，

∴AQ＝OA－OQ＝4－t，

∴S△ABQ＝AB·AQ＝×8(4－t)＝16－4t，

S△BCP＝BC·CP＝×4×2t＝4t，

∴S四边形QBPO＝S矩形ABCO－S△ABQ－S△BCP

＝32－(16－4t)－4t

＝32－16+4t－4t

＝16，

∴四边形QBPO的面积不变，面积为16；

（3）由（2）可知：S△ABQ＝16－4t，S四边形QBPO＝16，

∵，

∴，

解得，

∴存在t的值使得，此时．