Question

如图，第一象限内的点A在反比例函数y=

k

x

的图象上，且OA=

10

，OA与x轴正方向的夹角为α，tanα=

1

3

，
（1）求k的值，并求当y≤1时自变量x的取值范围；
（2）点B（m，-2）也在反比例函数y=

k

x

的图象上，连接AB，与x轴交于点C，若AC与x轴正方向的夹角为β，求sinβ的值；
（3）点P在x轴上，且使得△OBP为直角三角形，则P点的坐标为

 

．

Answer 1

分析：（1）过A作AE⊥x轴于E，由tan∠AOE=

1

3

，得到OE=3AE，根据勾股定理即可求出AE和OE的长，即得到A的坐标，代入双曲线即可求出k的值，得到解析式；
（2）把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A和B的坐标代入一次函数的解析式即可求出a、b的值，即得到答案．
（3）当BP⊥x轴，以及BP⊥y轴，分别求出即可．

解答：解：（1）过A作AE⊥x轴于E，
tan∠AOE=

1

3

，
∴OE=3AE
∵OA=

10

，由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐标为（3，1），
A点在双曲线上，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
当y≤1时，x≥3或x＜0；

（2）B（m，-2）在双曲y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
解得：m=-

3

2

，
∴B的坐标是（-

3

2

，-2），
代入一次函数的解析式得：

3a+b=1 - 3 2 a+b=-2

，
解得：

a= 2 3 b=-1

，
∴一次函数的解析式为：y=

2

3

x-1．
sinβ=

2 13

13

；

（3）P（-

3

2

，0）或P（-

25

6

，0）．

点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识点，综合运用这些知识进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．