Question

如图：第一象限内的点A在一反比例函数图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B点，连接AO，已知△AOB的面积为4．①求反比例函数的解析式；②若点A的纵坐标为4，过点A的直线与x轴相交于点P，且△APB与△AOB相似，求所有符合条件的点P的坐标；③在②的条件下，求过P、O、A的抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）求反比例函数的解析式实质求Y=

K

X

中K值，因为△AOB的面积为4，所以K=8；
（2）△APB与△AOB相似，可能全等，也可能相似，所以有三个点满足条件；
（3）欲求过P、O、A的抛物线的顶点坐标，先求其解析式，知道P、O、A三点坐标，用待定系数法易求，即解．

解答：解：①设A（x_A，y_A）
∵

1

2

xAyA=4
∵X_A＞0，Y_A＞0
∴x_Ay_A=8
设y=

k

x

∴x_Ay_A=k
∴k=8．
∴设比例函数解析式为y=

8

x

．（2分）

②∵y_A=4，
∴x_A=2
∴A（2，4）
∴OB=2，AB=4
当∠AP₁B=∠AOB时，△AOB≌△APB
∴PB=OB=2，∴P₁（4，0）（3分）
当∠AP₂B=∠OAB时△AOB∽△P₂AB
可以由

AB

BP2

=

OB

AB

∴

4

BP2

=

2

4

BP₂=8，∴P₂（10，0）．（4分）
当P₃在x轴负半轴上时，
且P₃与P₂关于点B对称也满足△AOB∽△P₃BA
由P₂（10，0），B（2，0），
∴P₃（-6，0）．（5分）

③当抛物线经过P₁（4，0），O（0，0），A（2，4）时
设解析式为y=ax²+bx+c
解

0=16a1+4b1+c1 c1=0 4=4a2+2b1

        

a1=-1 b1=4

∴解析式为y=-x²+4x
∴顶点坐标是（2，4）（6分）
当抛物线经过P₂（10，0），O（0，0），A（2，4）时
设所求抛物线为y=a₂x²+b₂x
则

0=100a2+10b2 4=4a2+2b2

    

a2=- 1 4 b2= 5 2

∴y=-

1

4

x2+

5

2

x=-

1

4

(x-5)2+

25

4

∴顶点坐标是（5，

25

4

）．（8分）
设经过P₃（-6，0），O（0，0），A（2，4）的解析式为：y=a₃x²+b₃x
则

36a3+6b3=0 4a3+2b3=4

∴a3=-

1

2

    b3=3
∴抛物线的解析式是y=-

1

2

x2+3x
∴顶点坐标是（3，

9

2

）（10分）．

点评：此题难度中等，考查反比例、二次函数的图象性质及用待定系数法求函数的解析式，以及两三角形相似等知识点．