题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y₁= $数学公式$ x与直线y₂=- $数学公式$ x+4 $数学公式$ 相交于点A，直线y₂=- $数学公式$ x+4 $数学公式$ 交x轴于点B，动点M在线段OB上以每秒1个单位长度的速度从点B向点O移动，同时动点N以每秒2个单位长度的速度沿折线O-A-B移动，当一个点停止运动时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）是否存在O、A、M、N为顶点的四边形为等腰梯形的情形？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在直线MN与△OAB中的一条边垂直的情形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）根据题意得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故A的坐标是（2，2 $\text{[math]}$ ），
在y₂=- $\text{[math]}$ x+4 $\text{[math]}$ 中令y=0，解得：x=4，故B的坐标是（4，0）；

（2）∵A的坐标是（2，2 $\text{[math]}$ ），B的坐标是（4，0），
∴OA= $\text{[math]}$ =4，AB= $\text{[math]}$ =4，
∴OA=AB=OB．即△OAB是等边三角形．

作AD⊥OB于点D，则D的坐标是（2，0），AD=2 $\text{[math]}$ ．OD=BD=2．
当N在边AB上，且MN∥OA时，在O、A、M、N为顶点的四边形是等腰梯形．
设经过t秒变成如图所示，M的坐标是（4-t，0），AN=2t-4，
作NE⊥AD于点E．
则在直角△ANE中，∠NAE=30°，
则NE= $\text{[math]}$ AN=t-2，AE=AN•cos30°= $\text{[math]}$ （2t-4）= $\text{[math]}$ t-2 $\text{[math]}$ ．
故N的横坐标是2+（t-2）=t，纵坐标是2 $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ t-2 $\text{[math]}$ ）=4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t．
N的坐标是（t，4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）．
∵MN∥OA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
解得：t= $\text{[math]}$ ．
则M的坐标是（ $\text{[math]}$ ，0）．设直线MN的解析式是y= $\text{[math]}$ x+b，则 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +b=0，解得：b=- $\text{[math]}$ ．
故MN的解析式是：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；

（3）当0≤t＜2时，M在BD上，N在OA上，则一定有MN⊥OA，此时，ON= $\text{[math]}$ OM，即2t= $\text{[math]}$ （4-t），解得：t= $\text{[math]}$ ；
当t=2时，M在D点，N在A点，此时有MN⊥OB．
当2＜t≤4时，M在OD上，N在AB上，若垂直，一定是MN⊥AB，则NB= $\text{[math]}$ MB，即8-2t= $\text{[math]}$ t，解得：t= $\text{[math]}$ ．
总之，t的值是： $\text{[math]}$ 或2或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）解两直线解析式组成的方程组即可求得A的坐标，在第二条直线的解析式中，令y=0即可求得B的横坐标，从而求得B的坐标；
（2）易证△OAB是等边三角形，利用t表示出M和N的坐标，根据MN∥OA，两直线的斜率相等求得t的值，利用待定系数法求得MN的解析式；
（3）分0≤t＜2和t=2以及2＜t≤4三种情况讨论，根据△ABC是等边三角形可以得到MN与△OAB的边垂直时构成的三角三角形的一个角一定是30°，根据30°角的所对的直角边等于斜边的一半，即可列出方程求得t的值．
点评：本题是待定系数法求函数解析式，等腰梯形的判定以及直角三角形的性质的综合应用，正确分类讨论是关键．