Question

如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm²）．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的对边相等表示出BC，然后表示出PB、QB，再根据三角形的面积列式整理即可得解，根据点Q先到达终点确定出x的取值范围即可；
（2）利用二次函数的最值问题解答．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4，
根据题意，AP=2x，BQ=x，
∴PB=16-2x，
∵S_△PBQ=

1

2

PB•QB，
∴y=-x²+8x，
∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，
∴点P到达终点的时间是16÷2=8秒，
点Q到达终点的时间是4÷1=4秒，
∵一点到达终点时，另一点也随之停止运动，
∴自变量取值范围：0＜x≤4；

（2）∵y=-x²+8x=-（x-4）²+16，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为16，
∴△PBQ的面积的最大值为16cm²．

点评：本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，主要利用了矩形的对边相等的性质，三角形的面积，用x表示出PB、QB是解题的关键．