题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是
轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过B作轴的垂线、过点A作
轴的垂线，两直线相交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；
（3）是否存在，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由；
（4）连结AC，在点P运动过程中，若以PB为直径的圆与直线AC相切，直接写出此时t的值．
（1）
；（2）1；（3）
；（4）
解析试题分析：（1）首先由勾股定理求得线段AC的长，然后利用△AOC∽△BOA求得线段BE、AE的长，从而求得点B的坐标；
（2）由△AOP∽△PEB根据相似三角形的性质可得PE=2，即得点D的坐标为（
，4），再代入二次函数关系式求解即可；
（3）分0＜t＜8时和t＞8两种情况，利用△AOC∽△BEA根据相似三角形的性质求解即可；
（4）先求得AC的解析式，设BP的中点为N，由
，可得
，AP=
，过点N作FN//AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H，可设
，可得
，即
，由△AFH∽△ACO可得
，由AF=4-m可得
，由
可得
，即可求得结果.
（1）由题意得
，解得；
（2）△AOP∽△PEB且相似比为
，PE=2，求得点D的坐标为（，4）
∴
解得
∵
；
（3）①当
时，如图（1）
若△POA∽△ADB
，即
∴无解
若△POA∽△BDA，同理，解得
；
②当
时，如图（2）
若△POA∽△ADB，即
解得
，取
若△POA∽△BDA，同理，解得无解
∴
；
（4）∵A（0，4），C（8，0）
∴AC的解析式为
设BP的中点为N，由，可得，AP=
过点N作FN//AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H
可设，可得，即
由△AFH∽△ACO可得，由AF=4-m可得
由可得，
∴
整理得31t2－336t＋704＝0，解得
考点：二次函数的综合题
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，主要考查学生对二次函数的性质的熟练掌握情况.
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．