Question

【题目】如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，为顶点．

求直线的解析式和顶点的坐标；

已知，点是直线下方的抛物线上一动点，作于点，当最大时，有一条长为的线段（点在点的左侧）在直线上移动，首尾顺次连接、、、构成四边形，请求出四边形的周长最小时点的坐标；

如图，过点作轴交直线于点，连接，点是线段上一动点，将沿直线折叠至，是否存在点使得与重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】直线的解析式为，点坐标． ．存在．当与重叠部分的图形是直角三角形时，的长为或或．

【解析】

(1)分别令x=0和y=0可求解出ABC三点的坐标，利用待定系数法求解直线AC的解析式；将二次函数一般式化为顶点式即可求解D点坐标；

(2)由于AC长度固定，故当PR最大时，△APC的面积最大，由图像可知，设P(m，m2+2m-3)，代入其中可求解m从而确定P点坐标；将点沿方向平移个单位得到，作点关于直线的对称点，连接交于，此时四边形的最长最小；

(3)分三种情况进行讨论：当时，重叠部分是RT△FKQ；当时，重叠部分是RT△FQD；、当时，重叠部分是RT△QMF.

对于抛物线，令，得，解得或，

∴，，

令，得，

∴，

∵抛物线，

∴顶点坐标为，

设直线的解析式为，则有，解得，

∴直线的解析式为，点坐标．

如图中，设

由题意，当最大时，的面积最大，即四边形的面积最大，

∵

，

∴当时，四边形的面积最大，即最长，

∴，

将点沿方向平移个单位得到，作点关于直线的对称点，连接交于，此时四边形的最长最小，

∵直线的解析式为，直线的解析式为，

由解得，

∴，

∵，

∴，

∴直线的解析式为，

由解得，

∴，将点向下平移个单位，向右平移个单位得到，

∴．

存在．

①如图中，当时，重叠部分是，作于．

由题意可求得，容易求得，，，，CD=

∵AD2=20=AC2+CD2,

∴∠ACD=90°，

∴，

∴，

∴

∴，，

∴，设，

在中，，

∴，

∴

②如图中，当时，重叠部分是，此时．

③如图中，当时，重叠部分是．

设，在中，，

∴，

∴．

综上所述，当与重叠部分的图形是直角三角形时，的长为或或．