Question

已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°？请证明你的结论．

Answer 1

证明：能．
（1）如图a，若四点A，B，C，D构成凸四边形．则必有一个内角≤90°．不妨设为∠A．
这是因为，假设四个内角都大于90°，则360°=∠A+∠B+∠C+∠D＞4×90°=360°．矛盾．
则∠BAC+∠CAD≤90°．
则∠BAC与∠CAD中必有一个≤×90°=45°．
故结论成立．

（2）如图b．若四点A，B，C，D构成四边形．则△ABC中必有一个内角≤×180°=60°．
不防设∠A≤60°．
又∠A=∠BAD+∠CAD≤60°．
则∠BAD与∠CAD值中必有一个≤×60°＜45°．
故结论成立．
分析：结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，则说明结论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的．
点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．