题目内容

先阅读短文，再回答短文后面的问题．
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．
如上图，建立直角坐标系xoy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设|KF|=p（p＞0），那么焦点F的坐标为（ $数学公式$ ，0），准线l的方程为x=- $数学公式$ ．
设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d，由抛物线的定义，抛物线就是满足|MF|=d的点M的轨迹．
∵|MF|= $数学公式$ ，d=|x+ $数学公式$ |∴ $数学公式$ =|x+ $数学公式$ |
将上式两边平方并化简，得y²=2px（p＞0）①
方程①叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（ $数学公式$ ，0），它的准线方程是x=- $数学公式$ ．
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其它的几种形式：y²=-2px，x²=2py，x²=-2py．这四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程列表如下：
标准方程交点坐标准线方程
y²=2px（p＞0）（ $数学公式$ ） x=- $数学公式$
y²=-2px（p＞0）（- $数学公式$ ） x= $数学公式$
x²=2py（p＞0）（0， $数学公式$ ） y=- $数学公式$
x²=-2py（p＞0）（0，- $数学公式$ ） y=- $数学公式$
解答下列问题：
（1）①已知抛物线的标准方程是y²=8x，则它的焦点坐标是，准线方程是
②已知抛物线的焦点坐标是F（0，-6），则它的标准方程是__．
（2）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程．
（3）直线 $数学公式$ 经过抛物线y²=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．

解：（1）①∵抛物线的标准方程是y²=8x，
∴y²=2×4x，它的焦点坐标是（ $\text{[math]}$ ，0），即（2，0），
准线方程是：x=- $\text{[math]}$ =-2；
②∵抛物线的焦点坐标是F（0，-6），
∴- $\text{[math]}$ =-6，p=12，
∴x ²=-2py，
∴x²=-24y；

（2）∵M（x，y）到点F（4，0）的距离比M到直线x=-5的距离小1，
∴点M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等，
所以点M的轨迹是以x=-4为准线，以F（4，0）为焦点的抛物线．
显然其顶点是O（0，0），焦参数（焦点到直线的距离）p=4-（-4）=8，
所以点M的轨迹方程是抛物线方程：y²=16x；

（3）∵抛物线y²=4x的焦点是（1，0），
∴直线 $\text{[math]}$ 的解析式为：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
将y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 与y²=4x联立求出x ₁=3'x ₂= $\text{[math]}$ ，y ₁=2 $\text{[math]}$ ，y ₂=- $\text{[math]}$ ，
∴两函数的交点A，B，为（3，2 $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
∴线段AB的长为：AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程列表直接求出即可；
（2）由点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，得出点M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等，进而可以求出；
（3）由直线 $\text{[math]}$ 经过抛物线y²=4x的焦点，可求出直线解析式，将y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 与y²=4x联立求出A，B两点的坐标，再利用平面内两点的距离公式求出AB的长度．
点评：此题主要考查了四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程的应用，以及平面内两点之间距离求法等知识，题目综合性较强．