Question

已知关于x的一元二次方程（a-3）x²-4x-1=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求a的值及此时方程的根；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）关于x的一元二次方程（a-3）x²-4x-1=0有两个相等的实数根，可知二次项系数不为0且判别式等于0；
（2）关于x的一元二次方程（a-3）x²-4x-1=0有两个不相等的实数根，可知二次项系数不为0且判别式大于0．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程（a-3）x²-4x-1=0有两个相等的实数根，
∴

a-3≠0 16-4(a-3)•(-1)=0

，
∴a=-1，
方程为-4x²-4x-1=0，
即4x²+4x+1=0，
解得（2x+1）²=0，
x₁=x₂=-

1

2

．

（2））∵关于x的一元二次方程（a-3）x²-4x-1=0有两个不相等的实数根，
∴

a-3≠0 16-4(a-3)•(-1)＞0

，
∴a＞-1且a≠3．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．