Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），
将B（0，-4）代入得：-4=-8a，即a=，
则抛物线解析式为y=（x+4）（x-2）=x²+x-4；

（2）过M作MN⊥x轴，
将x=m代入抛物线得：y=m²+m-4，即M（m，m²+m-4），
∴MN=|m²+m-4|=-m²-m+4，ON=-m，
∵A（-4，0），B（0，-4），∴OA=OB=4，
∴△AMB的面积为S=S_△AMN+S_梯形MNOB-S_△AOB
=×（4+m）×（-m²-m+4）+×（-m）×（-m²-m+4+4）-×4×4
=2（-m²-m+4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4，
当m=-2时，S取得最大值，最大值为4．
分析：（1）根据抛物线与x轴的交点A与C坐标设出抛物线的二根式方程，将B坐标代入即可确定出解析式；
（2）过M作x轴垂线MN，三角形AMB面积=梯形MNOB面积+三角形AMN面积-三角形AOB面积，求出即可．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形性质，三角形及梯形的面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．