Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T。

（1）求证：点E到AC的距离为一常数；
（2）若AD=，当a=2时，求T的值；
（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T。

Answer 1

（1）由锐角三角函数和平行的性质可证得。
（2）
（3）

分析：（1）由锐角三角函数和平行的性质可证得。
（2）应用锐角三角函数求得三边长即可。
（3）分点H在线段AC上和点H在线段AC的延长线上两种情况讨论即可。
解：（1）证明：如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH即为点E到AC的距离。

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=，BC=3，
∴。∴∠A=60⁰。
∵DE∥AB，∴∠EDH=∠A=60⁰。
∵DE=a（a为小于3的常数），
∴（常数）。
∴点E到AC的距离为一常数。
（2）当a=2时，，。
∵AD=，∴AH=。∴此时，点H在在线段AC上。
∴此时，△DEF与△ABC重叠部分就是△DEF。
∴。
（3）当点D运动到AC的中点处时， ，
由得，，解得。
∴分两种情况：
①当时，点H在线段AC上，此时，△DEF与△ABC重叠部分就是△DEF。
∴。
②当时，点H在线段AC的延长线上，如图，此时，△DEF与△ABC重叠部分就是△DCG。

根据三角形中位线定理，点G是BC的中点，
∴CD=，CG=,DG=。
∴。
综上所述，。