Question

求证：一个六边形有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆．那么这个六边形是正六边形，写出已知，求证，并证明．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：如图，作辅助线，证明该六边形六条边相等；证明六条边所对的中心角相等，即可解决问题．

解答：已知：六边形ABCDEF有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆⊙O．
求证：六边形ABCDEF是正六边形．
证明：如图，连接OM、OE；
则OM⊥EF、ON⊥AF；
∵OM=ON，
∴AF=EF（同圆中，相等的弦心距所对的弦相等），
同理可证：AB=BC=CD=DE=EF；
∴该六边形六条边相等；
在△AOF与△EOF中，

AO=OF OF=OE AF=EF

，
∴△AOF≌△EOF（SSS），
∴∠AOF=∠EOF，
同理可证：∠DOE=∠DOC=∠COB=∠AOB=∠AOF，
∴六边形ABCDEF是正六边形．

点评：该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．