Question

如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥DC， AD⊥DB，AD=DC=CB，

AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．

1.（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；

2.（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其

对称轴L．

3.（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使

PDB为等腰三角形的点P有几个?

（不必求点P的坐标，只需说出个数即可）

 

Answer 1

 

1.（1） ∵DC∥AB，AD=DC=CB，

∴ ∠CDB=∠CBD=∠DBA，

       ∠DAB=∠CBA，

 ∴∠DAB=2∠DBA，

∵∠DAB+∠DBA=90，

 ∴∠DAB=60  …………3分

   ∵∠DBA=30， AB=4，

 ∴DC=AD=2，

Rt△AOD，OA=1，OD=，

∴A（-1，0），D（0，），C（2，）．

2.（2）由已知得，满足条件的抛物线必过点A（-1，0），B（3，0），D（0，）

故可设所求为  =x²+bx+c   ……………6分

将点的坐标代入上式得 , 解得，

所求抛物线的解析式为  =    ……………9分

其对称轴L为直线=1．

3.（3）使PDB为等腰三角形的点P有5个．…………12分

 PDB为等腰三角形，有以下三种情况：

①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P₁，P₁D=P₁B，

P₁DB为等腰三角形；

②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃， P₂DB， P₃DB为等腰三角形；

③与②同理，L上也有两个点P₄、P₅，使得 BD=BP₄，BD=BP₅．

由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个

解析:略