Question

如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4，DO垂直于AB．则腰长是

 

．若P是梯形的对称轴L上的点，那么使△PDB为等腰三角形的点有

 

个．

Answer 1

分析：首先根据等腰梯形的性质，可证得BD是∠CBA的平分线，即可求得∠ABD的度数，则可求得AD的长；求交点，可以从PB=PD，PD=BD，PB=BD三种情况分析，注意结合图形求解较简单．

解答：解：∵AB∥CD，
∴∠DBA=∠CDB，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠CBD=∠DBA，
∵AD=BC，
∴∠A=∠ABC=2∠ABD，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=

1

2

AB=2；
∵若△PDB为等腰三角形，
若PD=PB，则点P是BD的垂直平分线与L的交点，有一个；
若PD=BD，则点P是以点D为圆心，BD的长为半径作圆与直线L的交点，有两个；
若PB=BD，则点P是以点B为圆心，BD的长为半径作圆与直线L的交点，有两个；
所以共有5个．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．解题时注意数形结合思想的应用．注意求点P时要用分类讨论的思想求解．