Question

已知，如图：在平面直角坐标系中，O是坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，2），B（﹣3，0），C（3，0），直线AC与反比例函数y=在第一象限内的图象相交于A，M两点．
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）连接BM交AO于点N，求证：N是△ABC的重心；
（3）在直线AC上是否存在一点P使△BPO的周长L取得最小值？
若存在，求出L的最小值并证明；
若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）点A在y=的图象上，
∴2=
k=2
∴y=
（2）设经过A、C的直线的表达式为y=k1x+b由A（1，2），C（3，0），

∴经过AC的直线的表达式为y=﹣x+3
∵直线AC与y=的图象交点为M，且k=2，
∴直线y=﹣x+3与双曲线y=在M点的纵坐标相等，∴=﹣x+3，
解得：x=1或x=2，经检验都是原方程的根
∴A（1，2）和M（2，）
过A作垂线段AD⊥BC，垂足为D，则D（1，0）
∴DC=2过M作垂线段ME⊥BC，垂足为E，则E（2，0）
∴EC=1易证△CME∽△CAD，
∴==，
∴CM=CA，M是AC中点，BM是△ABC的中线又B（﹣3，0），C（3，0），
∴O是BC中点，AO是△ABC的中线，
∴N是△ABC的重心
（3）过O作直线AC的对称点O′，连接BO′交AC于P，连接BP，PO，则△BPO周长最小．
证明：
∵O和O′关于直线AC对称，
∴PO=PO′，
∴BP+OP=BO′
在直线AC上任取异于P的点P′，
连接BP′，OP′，P′O′，
则BP′+OP′=BP′+P′O′＞BO′，
∴BO′是BP+OP的最小值．又BO是定值，
∴此时△BPO周长L最小．
O、O′关于直线AC对称，
∴△CPO≌△CPO′OC=CO′=3，
又AD=2，DC=2，
∴tan∠ACD===，
∴∠ACD=60°，
∴∠PCO'=∠ACD=60°，
∴CQ=1.5，QO′=
又BQ=BC+CQ=6+  =7
∴
∴最小值L=