Question

（2013•海珠区一模）随着经济发展，污染问题日益严重．某环保厂家看到这个商机，以200万元购买了某项空气净化产品的生产技术后，再投入280万元购买生产设备进行该产品的生产．已知生产这种产品的成本价为每件30元，经过市场调研发现，该产品的销售单价定在40到50元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）请根据图象直接写出销售单价是45元时的年销售量；
（2）求出年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并说明投资的第一年，销售单价定为多少时该厂家能获得最大盈利？最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）根据图象，找出单价45元时对应的y值；
（2）分别在图象上找出当40＜x＜45和45＜x＜50时点的坐标，设出函数关系式，代入点的坐标，求出函数关系式；
（3）根据年获利=销售量×（单价-成本价）-200-280列出函数关系式，求出最大盈利即可．

解答：解：（1）根据图象可得：销售单价是45元时的年销售量是30万件．  

（2）当40≤x≤45时，设函数关系式为y=kx+b，
分别代入（40，40）和（45，30），
得：

40k+b=40 45k+b=30

，
解得：

k=-2 b=120

，
故函数关系式为：y=-2x+120；
当45＜x≤50时，设函数关系式为y=mx+n，
分别代入（45，30）和（50，25），
得：

45m+n=30 50m+n=25

，
解得：

m=-1 n=75

，
故函数关系式为：y=-x+75；
所以年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=

-2x+120(40≤x≤45) -x+75(45＜x≤50)

；

（3）该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
W=（x-30）y-200-280=

-2x2+180x-4080(40≤x≤45) -x2+105x-2730(45＜x≤50)

，
当40≤x≤45时，
W=-2x²+180x-4080=-2（x-45）²-30，
开口向下，有最大值，
当x=45时，W_max=-30，
故此时厂家不管如何定销售单价，都不可能盈利，
当45＜x≤50时，
W=-x²+105x-2730=-（x-52.5）²+26，
开口向下，对称轴为x=52.5，
故当x=50时，W有最大值W_max=20，
答：销售单价定为50元时，厂家能获得最大盈利，最大利润是20万元．

点评：本题考查了二次函数的应用，涉及到分段函数，难度较大，解答本题的关键是结合图形求出x的不同范围时的不同解析式，并熟练掌握运用配方法求二次函数的最大值．