Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（-2，），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．

（1）求∠CEF的度数和点D的坐标；
（2）求折痕EF所在直线的函数表达式；
（3）若点P在直线EF上，当△PFD为等腰三角形时，试问满足条件的点P有几个，请求出点P的坐标，并写出解答过程．

Answer 1

解：（1）∵E是BC的中点，
∴EC=EB==1．
∵△FCE与△FDE关于直线EF对称，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=，
∴EG=EB-AH=1-=．
∵cos∠GED==，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF==60°．
在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG²=ED²-EG²=1-=
∴DG=
DH=AB-DG=2-=
OH=OA-AH=2-=
故D（-，）

（2）∵∠CEF═60°
∴CF=ECtan60°=
∴OF=OC-CF=2-=
∴F（0，），E（-1，2）
设EF所在直线的函数表达式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：
故EF所在直线的函数表达式为：y=-x+；

（3）∵DF=CF=点P在直线EF上，
∴当△PFD为等腰三角形时，有以下三种情况：
（a）P₁F=DF=，
可令P₁（t，-t+），则：
P₁F²=3
∴由两点间的距离公式为：
（t-0）²+（-t+-）²=3
∴t²+3t²=3
∴t²=，
∴t₁=-，t₂=
∴P₁（-，+）； P₃（，-+）
（b） PD=DF=时，
仍令P（t，-t+），注意D（-，），则：
PD²=3
∴（t+）²+（-t+-）²=3
∴t²+3t++3t²+3t+=3
∴4t²+6t=0
∴t₁=0，t₂=-
∵t₁=0对应F点，此时不构成三角形，故舍去．
∴P₄（-，）
（c）当 PD=PF
仍令P（t，-t+），注意D（-，），F（0，），则：
PD²=PF²
∴（t+）²+（-t+-）²=（t-0）²+（-t+-）²，
∴t²+3t++3t²+3t+=t²+3t²
∴6t+3=0
∴t=-
∴P₄（-，）．
故满足条件的点P有4个．分别是：（）、（）、（）、（）．
分析：（1）由条件可以求出EC=EB=1，根据轴对称的性质可以求出ED=1，利用三角函数值求出∠GED的度数，从而可以求出∠CEF的度数，利用勾股定理DG的值就可以求出D点的坐标；
（2）利用三角函数值求出CF的值，从而求出F的坐标，设出直线EF的解析式，直接利用待定系数法求出其解析式就可以了；
（3）如图2，根据等腰三角形的性质设出点P的坐标，由两点间的距离公式就可以求出点P的坐标．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了轴对称的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用及等腰的三角形的性质的运用，在解答时求出直线EF的解析式时关键．