Question

已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点做CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，试求PD：AB的值为多少？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用对折的性质得到△OAP≌△OCP，则∠1=∠2，根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠B+∠OCB，于是可得到∠2=∠B，然后根据平行线的判定定理得到PO∥BC；

（2）由△OAP≌△OCP得到∠1=∠2，而∠A=∠2，则∠A=∠3，根据圆周角定理得到∠A=∠3，则∠1=∠3，然后根据平行线的判定定理得到PO∥BC；

（3）根据切线的性质得OC⊥CD，易得OC∥AD，则∠2=∠4，∠A=∠3，而∠A=∠4，所以∠2=∠3，利用OP∥BC同理得到∠3=∠5，则可判断△OBC为等边三角形，所以∠3=∠2=60°，于是可判断△OPC也为等边三角形，得到∠6=60°，PC=OC，可计算出∠7=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得PD=

1

2

PC，

由此易得PD：AB=1：4．

解答：解：（1）如图1，
∵△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
∴△OAP≌△OCP，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=∠B+∠OCB，
而OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∴∠2=∠B，
∴PO∥BC；


（2）结论仍然成立．理由如下：
∵△OAP≌△OCP，
∴∠1=∠2，
∵OP=OA，
∴∠A=∠2，
∵∠A=∠3，
∴∠1=∠3，
∴PO∥BC；


（3）∵CD为是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠4，∠A=∠3，
而∠A=∠4，
∴∠2=∠3，
∵OP∥BC，
∴∠2=∠5，
∴∠3=∠5，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠3=∠2=60°，
∴△OPC为等边三角形，
∴∠6=60°，PC=OC，
∴∠7=30°，
∴PD=

1

2

PC，
∴PD=

1

2

OC=

1

4

AB，即PD：AB=1：4．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质以及平行线的判定与性质；运用等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．