Question

    如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．

    （1）求直线AC的解析式；

    （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

    （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

 

Answer 1

（1）过点作轴，垂足为（如图1）

，．

四边形为菱形，

，．

设直线的解析式为：，  

直线的解析式为：．

（2）由（1）得点的坐标为，．

如图1，

 

当点在边上运动时，

由题意得．

．

当点在边上运动时，记为．

，

，，．

，．

（3）设与相交于点，连接交于点．

，．

，，，

，．

当点在边上运动时，如图2．

 

，．，

，，．

，．

，，

．

在中，，

，．

在中，，

，

，

．

当点在边上运动时，如图3，

 

，，

，

，

，．

．

由，同理可证，．

．

，．

综上所述，当时，与互为余角，直线与直线所夹锐角的正切值为；当时，与互为余角，直线与直线所夹锐角的正切值为1．