Question

如图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S₁、S₂、S₃，则S₁、S₂、S₃的关系是（　　）

A．S₁+S₂=S₃

B．S12+S22=S32

C．S₁+S₂＞S₃

D．S₁+S₂＜S₃

Answer 1

分析：设三个半圆的直径分别为：d₁、d₂、d₃，半圆的面积=

1

2

π×（

直径

2

）2，将d₁、d₂、d₃代入分别求出S₁、S₂、S₃，由勾股定理可得：d₁²+d₂²=d₃²，观察三者的关系即可．

解答：解：设三个半圆的直径分别为：d₁、d₂、d₃，
S₁=

1

2

×π×（

d1

2

）²=

d12

8

π，
S₂=

1

2

×π×（

d2

2

）²=

d22

8

π，
S₃=

1

2

×π×（

d3

2

）²=

d32

8

π．
由勾股定理可得：
d₁²+d₂²=d₃²，
∴S₁+S₂=

π

8

（d₁²+d₂²）=

d32

8

π=S₃，
所以S₁、S₂、S₃的关系是：S₁+S₂=S₃．
故选A．

点评：本题主要考查运用勾股定理结合图形求面积之间的关系，关键在于根据题意找出直角三角形，运用勾股定理求出三个半圆的直径之间的关系．