Question

16．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于D、E两点，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F，连接BD．
（1）求证：∠CAF=∠CBD；
（2）若AC=2$\sqrt{10}$，CE：EB=1：4，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由AB为直径可得出BD⊥AC，结合等腰三角形的性质即可得出∠CBD=∠ABD，再由切线的性质即可得出∠FAB=∠CAF+∠CAB=90°，由同角的余角相等即可证出∠CAF=∠CBD；
（2）连接AE，设CE=a，则EB=4a，BA=BC=5a，由AB为直径可得出∠AEB=90°，利用勾股定理即可得出AE=3a，结合∠B=∠B即可证出△AEB∽△FAB，根据相似三角形的性质即可得出AF=$\frac{12}{5}$a，在Rt△AEC中，利用勾股定理即可求出a值，将其代入AF=$\frac{12}{5}$a中即可得出结论．

解答 （1）证明：连接BD，如图1所示．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC．
∵BA=BC，
∴AD=CD，∠CBD=∠ABD．
∵AF与⊙O相切，
∴∠FAB=∠CAF+∠CAB=90°．
又∵∠CAB+∠ABD=90°，
∴∠CAF=∠ABD=∠CBD．
（2）解：连接AE，如图2所示．
设CE=a，则EB=4a，BA=BC=5a．
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-E{B}^{2}}$=3a．
∵∠B=∠B，∠AEB=∠FAB=90°，
∴△AEB∽△FAB，
∴$\frac{FA}{AE}=\frac{EB}{AB}$，
∴FA=$\frac{AE•EB}{AB}$=$\frac{12}{5}$a．
在Rt△AEC中，AE=3a，CE=a，AC=2$\sqrt{10}$，
∴AE²+CE²=AC²，即9a²+a²=40，
解得：a=2或a=-2（舍去），
∴AF=$\frac{12}{5}$a=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、切线的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据同角的余角相等找出∠CAF=∠ABD；（2）根据相似三角形的性质找出AF=$\frac{12}{5}$CE．