Question

13．如图，直线y=-2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=$\frac{3}{2}$x相交于点A．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）若在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，则P点坐标是（0，6）或（0，$\sqrt{13}$）或（0，-$\sqrt{13}$）；
（3）在直线y=-2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立两直线解析式，解方程即可求得A点坐标，在y=-2x+7中分别令x=0和y=0，则可求得B、C的坐标；
（2）设P点坐标是（0，y），根据勾股定理可求得OA，且可用y表示出AP、OP的长，分OA=AP和OA=OB两种情况可分别得到关于y的方程，可求得y的值，即可求得P点坐标；
（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD=x，根据S_△OBQ=S_△OAB-S_△OAQ列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则QD=-y，根据S_△OCQ=S_△OAQ-S_△OAC列出关于y的方程解方程求得即可．

解答 解：
（1）联立两直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+7}\\{y=\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$，解得得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A点坐标是（2，3），
在y=-2x+7中，令x=0可得y=7，令y=0可得-2x+7=0，解得x=$\frac{7}{2}$，
∴B（0，7），C（$\frac{7}{2}$，0）；
（2）设P点坐标是（0，y），则PA=$\sqrt{{2}^{2}+（3-y）^{2}}$=$\sqrt{{y}^{2}-6y+13}$，PO=|y|，且AO=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵△OAP是以OA为腰的等腰三角形，
∴有PA=OA或PO=OA两种情况，
①当PA=OA时，即$\sqrt{{y}^{2}-6y+13}$=$\sqrt{13}$，解得y=0或y=6，当y=0时P与O重合，舍去，
∴P（0，6）；
②当PO=OA时，即|y|=$\sqrt{13}$，解得y=$±\sqrt{13}$，
∴P（0，$\sqrt{13}$）或（0，-$\sqrt{13}$），
故答案为：（0，6）或（0，$\sqrt{13}$）或（0，-$\sqrt{13}$）；
（3）存在；
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×3=$\frac{21}{4}$＜6，S_△AOB=$\frac{1}{2}$×7×2=7＞6，
∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x，y），
当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD=x，

∴S_△OBQ=S_△OAB-S_△OAQ=7-6=1，
∴$\frac{1}{2}$OB•QD=1，即$\frac{1}{2}$×7x=1，
∴x=$\frac{2}{7}$，把x=$\frac{2}{7}$代入y=-2x+7，得y=$\frac{45}{7}$，
∴Q的坐标是（$\frac{2}{7}$，$\frac{45}{7}$），
当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD=-y，

∴S_△OCQ=S_△OAQ-S_△OAC=6-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$OC•QD=$\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×（-y）=$\frac{3}{4}$，
∴y=-$\frac{3}{7}$，把y=-$\frac{3}{7}$代入y=-2x+7，解得x=$\frac{26}{7}$，
∴Q的坐标是（$\frac{26}{7}$，-$\frac{3}{7}$），
综上所述存在满足条件的点Q，其坐标为（$\frac{2}{7}$，$\frac{45}{7}$）或（$\frac{26}{7}$，-$\frac{3}{7}$）

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象的交点的求法，在（2）中用P点坐标分别表示出PA和PO是解题的关键，在（3）中确定出Q点所在的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．