Question

如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC="6." △ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连结AE，AC和BE相交于点O.

【小题1】（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；
【小题2】（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？

Answer 1

【小题1】（1）四边形ABCE是菱形.
证明：∵ △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，
∴ EC∥AB，EC＝AB.
∴ 四边形ABCE是平行四边形.
又∵ AB＝BC，
∴四边形ABCE是菱形
【小题2】（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴ S_△PBO＝ S_△QEO
∵ △ECD是由△ABC平移得到的，
∴ ED∥AC，ED＝AC＝6.
又∵ BE⊥AC，
∴BE⊥ED
∴S_{四边形PQED}＝S_△QEO＋S_{四边形POED}＝S_△PBO＋S_{四边形POED}＝S_△BED
＝×BE×ED＝×8×6＝24.          ……………4分
②如图，当点P在BC上运动，使以点P、Q、R为顶点的三角形与△COB相似.
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3.
∴∠2不与∠3对应 .
∴∠2与∠1对应 .
即∠2＝∠1，∴OP=OC="3" . 
过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点 .
可证 △OGC∽△BOC .
∴ CG:CO＝CO:BC .
即 CG:3＝3:5 .
∴ CG= .
∴ PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝ .
∴ BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10.
∴ x＝                               
∴ BP＝ .         解析:
略