Question

给出下列命题：
命题1：直线y=x与双曲线y=

1

x

有一个交点是（1，1）；
命题2：直线y=8x与双曲线y=

2

x

有一个交点是（

1

2

，4）；
命题3：直线y=27x与双曲线y=

3

x

有一个交点是（

1

3

，9）；
命题4：直线y=64x与双曲线y=

4

x

有一个交点是（

1

4

，16）；
…
（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；
（2）请验证你猜想的命题n是真命题．

Answer 1

分析：（1）根据题意给的数据可得到命题n：直线y=n³x与双曲线y=

n

x

有一个交点是（

1

n

，n²）；
（2）把（

1

n

，n²）分别代入直线y=n³x和双曲线y=

n

x

中，即可判断命题n是真命题．

解答：解：（1）命题n：直线y=n³x与双曲线y=

n

x

有一个交点是（

1

n

，n²）；

（2）验证如下：
将（

1

n

，n²）代入直线y=n³x得：右边=n3×

1

n

=n2，左边=n²，
∴左边=右边，
∴点（

1

n

，n²）在直线y=n³x上，
同理可证：点（

1

n

，n²）在双曲线y=

n

x

上，
∴直线y=n³x与双曲线y=

n

x

有一个交点是（

1

n

，n²）．

点评：本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了探究规律的方法：从特殊到一般．