Question

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P（a，b）为双曲线上的一点，射线PM⊥x轴于点M，交直线AB于点E，射线PN⊥y轴于点N，交直线AB于点F．
（1）直接写出点E与点F的坐标（用含a、b的代数式表示）；
（2）当x＞0，且直线AB与线段PN、线段PM都有交点时，设经过E、P、F三点的圆与线段OE相交于点T，连结FT，求证：以点F为圆心，以FT的长为半径的⊙F与OE相切；
（3）①当点P在双曲线第一象限的图象上移动时，求∠EOF的度数；
②当点P在双曲线第三象限的图象上移动时，请直接写出∠EOF的度数．

Answer 1

解：（1）E（a，1-a），F（1-b，b）．

（2）∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴四边形NOMP是矩形，
∴∠P=90°，
∴EF是⊙Q的直径．（不妨设经过E、P、F三点的圆为⊙Q），
∴∠FTE=90°，
∴FT⊥OE，
又∵OE经过半径FT的外端T，
∴OE是⊙F的切线．

（3）①由直线y=-x+1可求得：B（0，1），A（1，0），即△ABO是等腰直角三角形，如图所示，
由（1）得：E（a，1-a），F（1-b，b），
则PF=PN-FN=a-（1-b）=a+b-1，PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，
在Rt△PEF中，由勾股定理得：，
同理可得：，，
∴OE²=2a²-2a+1，，
∵P（a，b）在反比例函数图象上，
∴，即2ab=1，
∴，
∴EF•BE=OE²，即，
又∵∠OEF=∠BEO，
∴△OEF∽△BEO．
∴∠EOF=∠ABO=45°，
综上可得：∠EOF的度数是45°．
②如图所示：根据①的证明过程可得：△OE'F'∽△BE'O，
故可得∠E'OF'=∠E'BO=180°-∠ABO=135°，
故当点P在双曲线第三象限的图象上移动时∠EOF的度数是135°．
分析：（1）点E和点P的横坐标相等，点F和点P的纵坐标相等，代入直线解析式，可得出点E与点F的坐标；
（2）根据圆周角定理可得∠FTE=90°，结合FT是⊙F的直径，可判断出结论；
（3）①根据（1）所求的坐标，表示出PF、PE，利用勾股定理求出EF、OE、BE，及EF×BE的值，结合点P（a，b）在反比例函数上，可得2ab=1，继而可推出EF•BE=OE²，证明△OEF∽△BEO，即可得出∠EOF的度数．
②根据①相似三角形判定的过程，可证明△OE'F'∽△BE'O，继而可得出此时∠EOF的度数．
点评：此题考查了反比例函数的综合题，融合了矩形、等腰直角三角形、三角形面积的求法、两点间的距离公式、相似三角形的判定和性质等重要知识，难点在于第三问，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．