Question

若x，y，z满足（x-y）²+（z-y）²+2y²-2（x+z）y+2xz=0，且x，y，z是周长为48的一个三角形的三条边长，求y的长．

Answer 1

分析：将已知等式左边第四项去括号后结合，提取公因式变形后，再利用完全平方公式化简，得到底数为0，得到x+z=2y，由周长为48得到x+y+z=48，将x+z=2y代入即可求出y的值．

解答：解：∵（x-y）²+（z-y）²+2y²-2（x+z）y+2xz
=（x-y）²+（z-y）²+2y²-2xy-2yz+2xz
=（x-y）²+（z-y）²+2y（y-x）-2z（y-x）
=（x-y）²+（z-y）²+2（y-x）（y-z）=0，
=[（x-y）+（z-y）]²=0，即x-y+z-y=0，
∴x+z=2y，
又∵x+y+z=48，
∴2y+y=48，即3y=48，
则y=16．

点评：此题考查了因式分解的应用，涉及的知识有：完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．