Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，点E、F分别在AC、AB上，连接EF，将△ABC沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D处．若△DEF有一边垂直BC，则EF＝_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分两种情况：①当DF⊥BC时，则DF∥AC，结合折叠的性质证出DE=DF=AF=AE，设DE=DF=AF=AE=x，由平行线得出△BDF∽△BCA，解得，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，得出，，作FG⊥AE于G，由勾股定理求出AG，再由勾股定理即可得出结果；

②当DE⊥BC时，此时D与C重合，E为AC的中点，F为AB的中点，由三角形中位线定理得出答案．

分两种情况：

①当DF⊥BC时，如图1所示：

则DF∥AC，

∴∠DFE=∠AEF，

∵∠ACB=90°，AC=4，AB=5，

∴，

由折叠的性质得：，

∴，

∴，

∴，

设，

∵DF∥AC，

∴，

∴，

∴，

解得：，

在中，，

∴，

即：，

解得：或(舍去)，

∴，，

∴，

作FG⊥AE于G，

则，

∴，

∴，

∴；

②当DE⊥BC时，如图2所示：

此时D与C重合，E为AC的中点，F为AB的中点，

∴EF为△ABC的中位线，

∴；

综上所述，若△DEF有一边垂直BC，则EF为或；

故答案为：或．