Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将顶点坐标C（1，-2）代入y=x²+bx+c即可求得此二次函数的关系式；
（2）先求出直线PM的解析式，然后与二次函数联立即可解得点E的坐标；
（3）根据三角形相似的性质先求出GP=GF，求出F点的坐标，进而求得△PEF的面积．

解答：解：（1）∵y=x²+bx+c的顶点为（1，-2）．
∴y=（x-1）²-2，y=x²-2x-1；

（2）设直线PE对应的函数关系式为y=kx+b，根据A，B关于对称轴对称，
可以得出AC=CB，AD=BD，点C关于x轴的对称点D，
故AC=BC=AD=BD，
则四边形ACBD是菱形，
故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．            
由P（0，-1），M（1，0），
得

b=-1 k+b=0

从而得y=x-1，
设E（x，x-1）代入y=x²-2x-1得x-1=x²-2x-1，
解得x₁=0，x₂=3，
根据题意得点E（3，2）；

（3）假设存在这样的点F，可设F（x，x²-2x-1），
过点F做FG⊥y轴，垂足为G点．
在Rt△POM和Rt△FGP中，
∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∠OMP=∠FPG，
又∠MOP=∠PGF，
∴△POM∽△FGP
∴

OM

OP

= 

GP

GF

∵OM=1，OP=1，
∴GP=GF，即-1-（x²-2x-1）=x，
解得x₁=0，x₂=1，
根据题意得F（1，-2）
以上各步均可逆，故点F（1，-2）即为所求，
S_△PEF=S_△MFP+S_△MFE=

1

2

×2×1+

1

2

×2×2=3．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练．