题目内容

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点M是直线CD上的一动点，BM交抛物线于N，是否存在点N是线段BM的中点，如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），把C（0，8）代入得a=-1．
∴y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
顶点D（1，9）．

（2）假设满足条件的点P存在，依题意设P（2，t），
由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y=x+8，
它与x轴的夹角为45°，设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）．
则|PH|=|10-t|，点P到CD的距离为d= $\text{[math]}$ PH= $\text{[math]}$ |10-t|．
又PO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ |10-t|．
平方并整理得：t²+4= $\text{[math]}$ （10-t）²，
2t²+8=100-20t+t²，
t²+20t-92=0，
t=-10±8 $\text{[math]}$ ．
∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，-10+8 $\text{[math]}$ ）或（2，-10-8 $\text{[math]}$ ）．

（3）设M的坐标为（x，x+8），依题意则N的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），代入抛物线解析式得方程，
x²+6x-16=0，
∴x=-8，x=2；
∴N的坐标为（-2，0）、（3，5）．
分析：（1）由于抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），利用待定系数法设交点式解答较简便；
（2）假设存在点P，设出P点坐标，求出PH和PO的长度表达式，根据PH=PO列出方程，若能求出P点坐标，则点P存在，若不能求出点P的坐标，则点P不存在．
（3）假设存在点N是线段BM的中点，根据中点坐标公式求出求出N的坐标表达式，代入抛物线，若能求出N点坐标，则点N存在，若不能求出点N的坐标，则点N不存在．
点评：此题将抛物线与直线相结合，考查了对二次函数与一次函数的性质及图象上点的坐标特征的掌握情况，
（2）（3）着重考查了点的存在性问题，有一定的开放性．