Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，以为直径作，点在轴上，且在点上方，过点作的切线，为切点，如果点在第一象限，则称为点的离点．例如，图1中的为点的一个离点．

（1）已知点，为的离点．

①如图2，若，则圆心的坐标为__________，线段的长为__________；

②若，求线段的长；

（2）已知，直线．

①当时，若直线上存在的离点，则点纵坐标的最大值为__________；

②记直线在的部分为图形，如果图形上存在的离点，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)①（0，1）；；详情见解析；②，详情见解析；（2）①6，详情见解析；②当k＜0时，1-2<k≤或当k＞0时，≤k<1+2；详情见解析；

【解析】

（1）①如图可知：C(0，1)，在RtPQC中，CQ=1，PC=2，可得线段的长；

②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，M(0，1)，在RtACM中，由勾股定理可得CA=，CQ=，在RtPCM中，由勾股定理可得PC=，在RtPCQ中，由勾股定理可得PQ=；

（2）①当k=1时，y=x+4，Q（t-4，t），P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），则圆心为，由CQ⊥PQ，可求CQ的解析式为，Q点横坐标为，则C（2t-5，1），再由CQ=AC，得到t=6或t=2；

②y=kx+k+3经过定点（-1，3)，PQ是圆的切线，AO是圆的弦，则有，当k<0时，Q点的在端点（-1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ=2，.以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4-2），此时k=1-2，当P（0，3）时，PQ=，Q（1，2k+3），，所以1-2<k≤；当k>0时，当P（0，4)时，PQ=2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k=1+2，当P(0，3)时，PQ=，Q（1，2k+3），，≤k<1+2；

解：

（1）①如图可知：C（0，1），

在RtPQC中，CQ=1，PC=2，

∴；

故答案为：（0，1）；；

②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，

∵A（0，2），B（2，0），

∴C（1，1），

∴M（0，1），

在RtACM中，由勾股定理可得CA=，

∴CQ=，

∵P（0，3），M（0，1），

∴PM=2，

在RtPCM中，由勾股定理可得PC=，

在RtPCQ中，由勾股定理可得PQ=；

（2）①当k=1时，y=x+4，

∴Q（t-4，t），

∵，

∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，

设B（m，0），

∴C，

∵CQ⊥PQ，

∴CQ的解析式为，

∴Q点横坐标为，

∴，

∴m=4t-10，

∴C（2t-5，1），

∵CQ=AC，

∴，

∴t=6或t=2；

∴t的最大值为6；

故答案为：6.

②∵-1≤x≤1，

∵y=kx+k+3经过定点（-1，3)，

∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，

∴，

当k<0时，Q点的在端点（-1，3）和（1，2k+3）之间运动，

当P（0，4）时，PQ=2，

.以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4-2），

此时k=1-2，

当P（0，3）时，PQ=，Q（1，2k+3），

∴，

∴，

∴，

即1-2<k≤；

当k>0时，当P（0，4)时，PQ=2，

以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），

此时k=1+2，

当P(0，3)时，PQ=，

Q（1，2k+3），

，

∴，

∴，

即≤k<1+2；