Question

如图，过A、C两点的抛物线y=x²+bx+c上有一点M，已知A（-1，0），C（0，-2），
（1）这个抛物线的解析式为______；
（2）作⊙M与直线AC相切，切点为C，则M点的坐标为______．

Answer 1

解：（1）将A（-1，0），C（0，-2）的坐标代入y=x²+bx+c得
，
解得．
故此抛物线的解析式为y=x²-x-2；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+m，将A（-1，0），C（0，-2）的坐标代入得
，
解得．
故直线AC的解析式为y=-2x-2，
∵⊙M与直线AC相切，
∴与直线AC垂直的直径所在的直线为y=x+n，
∵切点为C，
∴n=-2，
∴与直线AC垂直的直径所在的直线为y=x-2，
设M（a，a²-a-2），
则a-2=a²-a-2，
解得a₁=0（舍去），a₂=1.5，
∴M（1.5，-1.25）．
故答案为：y=x²-x-2，（1.5，-1.25）．
分析：（1）由题意根据待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由题意根据待定系数法即可求出直线AC的解析式，再根据切线的性质根据待定系数法得到经过M，切点为C的直线解析式，设M（a，a²-a-2），得到关于a的方程，即可求解．
点评：本题考查了抛物线解析式、直线的解析式的求法，切线的性质，互相垂直的两条直线的关系，综合性较强，有一定的难度．