题目内容

如图，一张矩形纸片ABCD中，AD＞AB．将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到BC边上的点D′，折痕AE交DC于点E．
（1）试用尺规在图中作出点D′和折痕AE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接DD′、AD′、ED′，则当∠ED′C=______°时，△AD′D为等边三角形；
（3）若AD=5，AB=4，求ED的长．
（4）在（3）的条件下，折痕AE上存在一点F，它到点D的距离等于它到边BC的距离，在图中画出这个点，并直接写出FD的长．

解：（1）如图所示：

（2）当∠ED′C=30°时，
∵DE=D′E，∴∠ED′D=∠D′DE，
∵∠ED′C=30°，
∠ED′D+∠D′DE+∠ED′C=90°，
∴∠ED′D=∠D′DE=30°，
∴∠ADD′=60°，
∵AD=AD′，
∴△AD′D为等边三角形，
故答案为：30；

（3）∵AD=5，AB=4，
∴AD′=5，
∴BD′= $\text{[math]}$ =3，
∴CD′=5-3=2，
设DE=D′E=x，
则EC=4-x，
故EC²+D^′C²=D^′E²，
即（4-x）²+2²=x²，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
故ED的长为： $\text{[math]}$ ．

（4）解：如图所示，设PF⊥CB，
∵DP=FP，
由翻折变换的性质可得DP=D′P，
∴FP=D′P，

∴FP⊥CB，
∴D′，F，P三点构不成三角形，
∴F，D′重合分别延长AE，BC相交于点G，
∵AD平行于CB，
∴∠DAG=∠AGC，
∵∠DAG=∠D′AG，AGC=∠D′AG，
∴GD′=AD′=AD=5，
∵PD′（PF）⊥CB，
∴PD′∥AB，
∴△ABG∽△PD′G，
∵Rt△ABD′中，AD′=5，AB=4，
∴BD′=3，BG=BD′+D′G=3+5=8，
∴△ABG与△PD′G的相似比为8：5，
∴AB：PD′=8：5，
∵AB=4，
∴PD′=2.5，即相等距离为2.5．
分析：（1）以AD长为半径画弧与BC交于点D′，再做出∠DAD′的平分线，即可得出符合要求的图形；
（2）利用等边三角形的判定，得出当∠ED′C=30°时，△AD′D为等边三角形；
（3）利用勾股定理以及翻折变换性质得出DE=D′E=x，EC=4-x，进而得出即可．
（4）利用翻折变换的性质得出F，D′重合，进而利用△ABG∽△PD′G，求出FD的长即可．
点评：此题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理和基本作图，熟练应用翻折变换图形翻折前后图形不变是解决问题的关键．