Question

在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S₁=30，S₂=6，求△ADC的面积S．

Answer 1

分析：设DE=a，则BE=5a，设CD=xa，只要求出x，根据同底等高三角形面积，6x就是三角形ADC的面积，根据射影定理和角平分线的知识点得到关于x的方程，解得x即可．

解答：
解：设DE=a，则BE=5a，设CD=xa，只要求出x，根据同底等高三角形面积，6x就是三角形ADC的面积．
（1）由射影定理，AC²=CD•BC，AB²=BD•BC，所以

AC2

AB2

=

CD

BD

=

xa

6a

=

x

6

①
（2）由角平分线性质，

AC

AB

=

CE

BE

=

xa+a

5a

=

x+1

5

②
（3）联立①②式得到：[

(x+1)

5

]2=

x

6

这是个一元二次方程，
解得x=

3

2

或

2

3

．
所以S_△ADC=6x=9或4．
故答案为：9或4．

点评：本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练运用射影定理和角平分线的知识点，本题难度较大．