Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x2+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为此抛物线的顶点，求∠OAP的余弦；
（3）设点M为此抛物线上的一点，且MC⊥AC，求点M的坐标？

Answer 1

分析：（1）将A（2，0），C（0，-1）两点坐标代入抛物线y=

1

2

x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出P点坐标，根据cos∠OAP=

xA-xP

PA

即可求出∠OAP的余弦；
（3）过M点作MD⊥y轴于D，根据三角形相似的性质解得x值，便可求出点M的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x2+bx+c过A（2，0），C（0，-1）
∴

2+2b+c=0 c=-1

，
解得b=-

1

2

，（2分）
∴抛物线的解析式y=

1

2

x2-

1

2

x-1（1分）

（2）∵y=

1

2

x2-

1

2

x-1=

1

2

(x-

1

2

)2-1

1

8

∴顶点P(

1

2

，-1

1

8

)（2分）
∴AP=

15

8

，
∴cos∠OAP=

3 2

15 8

=

4

5

；（2分）              

（3）设M点的坐标为(x，

1

2

x2-

1

2

x-1)，（1分）              
过M点作MD⊥y轴于D，则△CDM∽△AOC
∴

MD

CD

=

OC

OA

（2分）
∴

|x|

| 1 2 x2- 1 2 x-1+1|

=

1

2

，

-x

1 2 x2- 1 2 x

=

1

2

，
∴x=-3
∴y=

1

2

x2-

1

2

x-1=5，
∴点M的坐标为（-3，5）．（2分）

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．