Question

4．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，EF交AD于点P．若△PDE的周长为18，且AM=2，求线段EC的长．

Answer 1

分析 如图所示：连接MB、BE、ME、BP，过点B作BG⊥EF，垂足为G．证明△GBE≌△CBE、Rt△APB≌Rt△GPB，从而得到：PE=AP+EC，由△PDE的周长为18可求得正方形的边长为9．从而可求得MD=7，然后在根据BM=ME利用勾股定理列出关于DE的方程，从而可求得DE=6，故此可求得EC=3．

解答 解：如图所示：连接MB、BE、ME、BP，过点B作BG⊥EF，垂足为G．

由翻折的性质可知：∠ABN=∠NEF=90°，BN=NE，
∴∠EBN=∠BEN．
∵BG⊥EF，
∴∠BGE=90°．
∴∠BGE=∠C=90°，∠NEF=BGF=90°．
∴BG∥EN．
∴∠GDE=∠BEN．
∴∠GBE=∠CBE．
在△GBE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGE=∠C}\\{∠GBE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△GBE≌△CBE．
∴CE=EG．BG=BC．
∴BG=AB．
在Rt△APB和Rt△GPB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BG}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴Rt△APB≌Rt△GPB．
∴PA=PG．
∴AP+EC=PE．
∵△PDE的周长为18．
∴PD+PE+PE=PD+AP+DE+EC=18．
∴AD+DC=18．
∴正方形的边长为9．
∵AM=2，
∴DM=7．
由翻折的性质可知：BM=ME．
由勾股定理可知：AM²+AB²=MB²，DM²+DE²=ME²，
∴2²+9²=7²+ED²．
解得：DE=6．
∴EC=3．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的做法是解题的关键．