如图1所示.在△ABC中.∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点.连接AD.以AD为直角边.A为直角顶点.在AD左侧作等腰直角三角形ADF.连接CF.AB=AC.∠BAC=90°．(1)当点D在线段BC上时.线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么?请给予证明．(2)当点D在线段BC的延长线上时.(1)的结论是否仍然成立?请在图2中画出相应的图形.并说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．

分析（1）根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD；
（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；

解答解：（1）CF=BD，且CF⊥BD，证明如下：
∵∠FAD=∠CAB=90°，
∴∠FAC=∠DAB．
在△ACF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAF=∠BAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD
∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，
∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°，
∴FC⊥CB，
故CF=BD，且CF⊥BD．

（2）（1）的结论仍然成立，如图2，∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAF=∠BAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
∴CF=BD，且CF⊥BD．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同．

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