Question

刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②，图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm，图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）。
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐_________；（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由，请你分别完成上述三个问题的解答过程。

Answer 1

解：（1）变小；

（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6 ∴AC=12 ∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4 ∴DF=4 连接FC，设FC∥AB ∴∠FCD=∠A=30° ∴在Rt△FDC中，DC= ∴AD=AC-DC=12- ∴AD=（12-）cm时，FC∥AB； 问题②：设AD=x， 在Rt△FDC中，FC2=DC2+FD2=（12-x）2+16， （I）当FC为斜边时， 由AD2+BC2=FC2得， x2+62=（12-x）2+16， x=； （II）当AD为斜边时， 由FC2+BC2=AD2得， （12-x）2+16+62=x2， x=＞8（不合题意舍去）； （III）当BC为斜边时， 由AD2+FC2=BC2得， x2+（12-x）2+16=36，x2-12x+62=0， ∴方程无解， ∴由（I）、（II）、（III）得，当x=cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形； 问题③： 不存在这样的位置，使得∠FCD=15°理由如下： 假设∠FCD=15° ∵∠EFC=30° 作∠EFC的平分线，交AC于点P 则∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60° ∴PD=，PC=PF=2FD=8 ∴PC+PD=8+＞12 ∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°。