Question

（2013•建邺区一模）已知：四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG、BD交于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：OE=OF；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°．探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=α，且AC⊥BD．结合上面的活动经验，探究线段OE与OF的数量关系为

OF=tan（α-45°）OE

（直接写出答案）．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，再根据同角的余角相等求出∠AFO=∠BEO，然后利用“角角边”证明△AOF和△BOE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，对角线平分一组对角可得∠ABO=60°，再根据等角的余角相等求出∠AFO=∠BEO，然后证明△AOF和△BOE相似，根据相似三角形对应边成比例可得

OF

OE

=

AO

OB

，再根据锐角三角形函数的定义解答；
（3）根据等腰梯形的性质求出∠OBC=45°，再根据同角的余角相等求出∠OAF=∠OBE，然后求出△AOF和△BOE相似，利用相似三角形对应边成比例可得

OF

OE

=

OA

OB

，再根据锐角三角函数解答．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，对角线的交点为O，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∵AC⊥BD，AG⊥BE，
∴∠FAO+∠AFO=90°，∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AFO=∠BEO，
在△AOF和△BOE中，

∠AFO=∠BEO ∠FOA=∠EOB OA=OB

，
∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE=OF；

（2）OF=

3

OE．
理由：∵四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O，∠ABC=120°
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°．
∴∠AFO=∠BEO，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴

OF

OE

=

AO

OB

，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴

AO

OB

=tan60°=

3

．
∴OF=

3

OE；

（3）∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AC⊥BD，
∴∠OBC=45°，
∵∠ABC=α，
∴∠ABO=α-45°，
∵AG⊥BE，
∴∠OAF+∠AEG=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠OBE+∠AEG=90°，
∴∠OAF=∠OBE，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴

OF

OE

=

OA

OB

，
∵∠ABO=α-45°，AC⊥BD，
∴

OA

OB

=tan（α-45°），
∴OF=tan（α-45°）OE．
故答案为：OF=tan（α-45°）OE．

点评：本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的对角线互相垂直平分的性质，等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，综合性较强，（2）（3）两小题确定出相似三角形是解题的关键．