Question

如图，正方形OA₁B₁C₁的边长为1，以O为圆心、OA₁为半径作扇形OA₁C₁，弧A₁C₁与OB₁相交于点B₂，设正方形OA₁B₁C₁与扇形OA₁C₁之间的阴影部分的面积为S₁；然后以OB₂为对角线作正方形OA₂B₂C₂，又以O为圆心，OA₂为半径作扇形OA₂C₂，_弧A2C2与OB₁相交于点B₃，设正方形OA₂B₂C₂与扇形OA₂C₂之间的阴影部分面积为S₂；…按此规律继续作下去，则阴影部分面积S₁₀为

 

．

Answer 1

分析：正方形OA₁B₁C₁的边长为1，则S_{正方形OA1B1C1}=1，OB₁=

2

，以O为圆心，OA为半径作扇形OA₁C₁，得到S₁=1-S_扇形OA1C1=1-

π

4

；以OB₂为对角线作正方形OA₂B₂C₂，又以O为圆心，OA₂为半径作扇形OA₂C₂，得到S₂=

1

2

-S_扇形OA2C2=

1

2

-

π

8

；依此类推得到S_n=

1

2n-1

-

π

2n+1

．进而可将n=10代入求解．

解答：解：S₁₀=

1

210-1

-

π

210+1

=

1

29

-

π

211

．
故答案为

1

29

-

π

211

．

点评：本题考查了扇形面积的计算以及正方形的性质，要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．